0. 선형대수학 기초 및 용어정리

들어가기에 앞서...

 선형대수학이란 과목을 처음으로 접한건 대학교 4학년2학기 때였다. 모든 선배들이 컴퓨터소프트웨어학과라면 꼭 필수적으로 들어야한다고 해서 결국에는 듣게 되었다. 그리고 지금 회사에서도 그것을 느끼고 있다. 정말로 소프트웨어의 길을 갈 것이면 필요하다. 자율주행, 딥러닝, 병렬처리 등등 선형대수학을 배우지 않았더라면 정말로 큰일날뻔했다.

 처음에 선형대수를 들을 때 '행렬을 좀 더 깊이 배우는 것이다' 라고 누군가가 나에게 말해서 쉽겠네? 라는 생각을 했었다. 하지만 정말로 심오하고 깊이 있는 학문이 바로 선형대수학이다. 이제부터 본격적으로 선형대수학을 들어갈건데 중간중간 아무말 대잔치를 할 예정이다. 어려워서 이해가 안되는 부분은 의문점으로 남긴채 나중에 이해가 되면 업데이트를 할 예정이다. 또 설명이 올바르지 못한 부분도 발견되면 수정할 예정이다.

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Linearity(선형성)의 정의

 Linearity의 정의는 참 쉽다. 2가지 조건만 만족하면 끝이다.

1) Additivity(가합성): 

2) Homogeniety(동질성): 

 어떤 시스템이 Linearity를 만족하는 것을 증명하는 것은 쉽다. 위의 2가지 조건만 성립한다는 것을 보여주기만 하면 끝이다.

 선형대수학이라는 학문은 Matrix에 관한 내용이다. Matrix라는 시스템도 역시 Linearity를 만족한다.

 Linearity의 핵심 성질을 기반으로 이제부터 Matrix를 기반으로한 선형대수학을 시작해보자.

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Matrix(행렬)의 정의

 항상 행렬에서 행이 뭔지 열이 뭔지 헷갈린다. 한자로 『行列』. 한자의 모양으로 외우면 쉽다는데... 한자를 모르는 사람에게는 고약이다. 그래서 나는 가로세로 순으로 그냥 외운다. 그리고 코딩을 하다가보면 2차원배열을 사용할 때, 여기서 i가 행, j가 열이라고 생각하면 쉽다.

행렬 는 이렇게 표현할 수 있다.

- 는 행렬의 원소이다.

- 행렬 를로도 표기할 수 있다.

- 원소를 로도 표기할 수 있다.

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Matrix의 곱셈

 곱셈을 정의로만 보면 쉬운데, 막상 복잡한 문제에서 머리만으로 해결하려고 하면 쥐가나려고 한다. 정의와 방법을 보고 차근차근 알아가자! 매우매우 중요하다...!

행렬와 행렬를 곱하면 행렬가 된다.

예시)

- 의 열의 개수와 의 행의 개수가 일치해야만 곱셈이 가능하다.

- 교환법칙은 성립하지 않는다.

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Row Vector(행벡터), Column Vector(열벡터) 그리고 Linear Combination(선형결합)

 벡터를 쉽게말하면 숫자나열의 묶음이라고 할 수 있다. 그 숫자들의 크기들이 벡터의 방향과 크기를 결정한다.

 숫자들이 가로로 나열되어 있으면 Row Vector, 세로로 나열되어 있으면 Column Vector라고 한다. 관습적으로 Column Vector를 많이 사용한다. 방정식을 풀 때 미지수가 뒤에 온다는 관습이 여기에서도 나타나기 때문이다. 이해가 잘 안된다면 그냥 그렇다라고 생각하고 선형대수학을 계속 공부하다보면 어느순간 알게 될 것이다.

Row Vector

Column Vector

 여기서 를 Row Vector 또는 Column Vector로 표현할 수 있다. 그리고 의번째 Row Vector를, 번째 Column Vector를 라고 표기한다.

 그리고 와 벡터의 곱를 다른 방식으로 나타낼 수 있다.

 벡터의 한 요소와 Matrix의 한 Column Vector의 곱을 덧셈의 조합으로 만들 수가 있다. 위의 식은  이러한 꼴이 되는데, 이를 Linear Combination이라고 한다.

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Identity matrix(항등행렬)와 Inverse of square matrices(역행렬)

 소제목의 matrix들은 square matrix(정사각행렬)의 곱셈연산에 관한 용어들이다. square matrix는 행과 열의 크가가 같은 matrix이다.  Identity matrix는 matrix 곱셈연산의 항등원이고 보통 라는 기호를 쓴다. matrix의 모양은 의 요소들만 1이고 나머지 요소들은 모두 0이다.

 Inverse of matrix는 matrix 곱셈연산의 역원이고 의 역원을 이라고 표기한다.

Inverse of matrix의 정의

 그리고 모든 square matrix가 역행렬을 가지는 것은 아니다. 행렬 가 역행렬을 가지면 invertible 또는 nonsingular라고 하고, 역행렬이 없다면 singular하다 라고하고 그 matrix를 singular matrix라고 한다.

  또 역행렬을 유일하게 존재하는데 그 증명은 쉽다.

Proof)

 역행렬에는 몇가지 성질들이 있다.

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Transpose(전치행렬)

 선형대수학에는 헷갈리는 용어들이 많다. Transpose, Translate, Transformation... 전부 다 다른 용어들이고 결코 헷갈려서는 안된다. Translate를 Transformation이라고 잘못 설명해서 교수님에게 혼났던 기억도 난다.

 어찌됐든 Transpose는 행과열을 바꾸는 연산이다.라고 쓴다.

Ex)

 Transpose는 Column vector를 문서에 표기하기 쉽게  이렇게 많이 사용하고, 회전변환을 할때나 symetric인지 검사할때도 사용된다.

 Transpose는 몇가지 성질을 가지고 있다.

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몇가지 중요한 Matrix들

 1. Trianglar Matrix(삼각행렬)

 정말로 중요한 matrix이다. 나중에 가우스소거법이나 역행렬을 구할 때도 중요하고, LU분할에 나오기 때문에 정말로 중요하다. 논문에도 자주나오는 matrix니깐 꼭 알아두자.

 Trianglar Matrix에는 2가지 종류가 있다. Upper Trianglar Matrix(상삼각행렬)와 Lower Trianglar Matrix이다. 대각선을 기준으로 오른쪽 위에만 요소들이 있고(대각선 포함) 나머지 왼쪽 아래는 0으로 채워진 Matrix가 Upper Trianglar Matrix(하삼각행렬)이다.

 대각선을 기준으로 왼쪽 아래에만 요소들이 있고(대각선 포함) 나머지 오른쪽 위에는 0으로 채워진 Matrix가 Lower Trianglar Matrix이다.

 Trianglar Matrix에는 좋은 성질이 있다.

-와 가 Upper Trianglar Matrix라면 도 Upper Trianglar Matrix이다. Lower Trianglar Matrix도 마찬가지이다.

 2. Diagonal Matrix(대각행렬)

 대각성분만 있고 나머지 요소는 0인 Matrix이다. Upper Trianglar Matrix이면서 Lower Trianglar Matrix이다.

 Diagonal Matrix에는 좋은 성질이 있다.

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3. Symmetric Matrix(대칭행렬)

 Symmetric의 사전적인 정의를 보면 '대칭적인', '균형이 잡힌' 이런 뜻이 있다. 눈치챌진 모르겠지만, 요소와 요소가 같은 Matrix이다. 쉽게말해 대각선으로 대칭인 Matrix이다.

 Symmetric Matrix에는 몇가지 성질이 있다.

- 와 가 symmetric matrix라고 하자. 그러면 가 symmetric이면 이다. (역도 성립)

- 가 invertible symmetric이라면 도 invertible symmetric이다.